Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

y = ax^2 + bx + c \,\!

dengan

a \ne 0 \,\!

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel;  a,b,c konstanta ; a ¹0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

  • Memfaktorkan 

    ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
    ®
    x1= – p/a dan x2 = – q/adengan p.q = a.c dan p + q = b

  • Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q² ® x + p = ± q
    x1 = q – p dan x2 = – q – p
  • Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2abentuk (b² – 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
    sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x – 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

y = 0 \,\!.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

y = ax^2 + bx + c \,\!

dapat dituliskan menjadi

y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!

dan

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

ax^2 + bx + c = 0 \,\!

bagi kedua ruas untuk mendapatkan a = 1

x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!

Pindahkan \frac{c}{a} ke ruas kanan

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!

Pindahkan -\frac{b^2}{4ac} ke ruas kanan

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Pindahkan -\frac{b}{2a} ke ruas kanan

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

sehingga didapat rumus kuadrat

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}
Slide Persamaan Kuadrat