Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit
SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:
1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r
px2 + (q – a)x + (r – b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px2 + (q – a)x + (r – b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b2 – 4ac.
Diskriminan dari px2 + (q – a)x + (r – b) = 0 adalah D = (q – a)2 – 4p(r – b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

b. y = -2x + 5
y = x2 + 6x + 21
Jawab :
Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x2 + 6x + 21 diperoleh
-2x + 5 = x2 + 6x + 21
x2 + 8x + 16 = 0
D = 82 – 4(1)( 16)
D = 64 – 64
D = 0
Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x – 4
y = x2 + 6x + 9
Jawab :
Substitusikan persamaan y = 3x – 4 ke persamaan y = x2 + 6x + 9 diperoleh
3x – 4 = x2 + 6x + 9
x2 + 3x + 13 = 0
D = 32 – 4(1)( 13)
D = 9 – 52
D = -43
Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
y = x2 + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x2 + 4x, diperoleh
2x + 8 = x2 + 4x
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
x = -4 atau x = 2
x = -4 y = 2(-4) + 8 = 0
x = 2 y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x2 – 2x – 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola

Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x2 – 2x – 8, diperoleh
x + 2 = x2 – 2x – 8
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x = -2 atau x = 5
x = -2 y = -2 + 2 = 0
x = 5 y = 5 + 2 = 7
Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

 

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x2 +2x – 15
(2) y = 4x – 8                                       (4) x = y2 + 8y +12
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)
Contoh: (1) x2 + y2 + 25 = 0                              (3) x2 – 6xy + y2 + 8y = 0
(2) x2 + y2 – 4x +  6y = 0                      (4) x2 + 2xy + y2 – 10y + 9 = 0
Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real.
A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan
Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.
  1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
  2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
  3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK
Jawab:
x + y – 4 = 0  y = -x + 4
Substitusikan y ke persamaan x2 + y2 – 10 = 0
x2 + (-x + 4)2 – 10 = 0
x2 + x2 – 8x + 16 – 10 = 0
2x2 – 8x + 6 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
x = 1  y = -1 + 4 = 3
x = 3  y = -3 + 4 = 1
Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK
Jawab:
x – y = 5  x = y + 5
Substitusikan x ke persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
(y + 5)2 + y2 – 2(y + 5) + 4y + 1 = 0
y2 + 10y + 25 + y2 – 2y – 10 + 4y + 1 = 0
2y2 + 12y + 16 = 0
y2 + 6y + 8 = 0
(y + 2) (y + 4) = 0
    y = -2 atau y = -4
        y = -2  x = -2 + 5 = 3
        y = -4  x = -4 + 5 = 1
Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

 

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan
Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.
  1. Ubah persamaan ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)2 – s2 = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
    mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0
  2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

 

Jawab:
x2 – 6xy + 9y2 – 36 = 0
(x – 3y)2 – 36 = 0
(x – 3y + 6)(x – 3y – 6) = 0
x – 3y + 6 = 0 atau x – 3y – 6 = 0
x – 3y = -6  atau x – 3y = 6
Eliminasikan x + y = 2 dengan x – 3y = -6  dan x – 3y = 6
   x + y = 2
  x – 3y = -6
       4y = 8             x + 2 = 8
         y = 2                   x = 0
   x + y = 2
  x – 3y = -6
       4y = 8             x + 2 = 8
         y = 2                   x = 0
Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}